Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x} - \frac{3}{| x |}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{3}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{3}{| x |}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{3}{| x |}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{3}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x | x |$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x}$ mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 | x |}{x | x |} - \frac{3}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{| x |}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 | x |}{x | x |} - \frac{3 x}{| x | x}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $| x | x$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{3 | x |}{x | x |} - \frac{3 x}{x | x |}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{3 | x | - 3 x}{x | x |}$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{3 | x | - 3 x}{x | x |}$

Schritt 3

Wenn sich die $x$ -Werte von links an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke ab.

$- \infty$

Schritt 4

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 | x | - 3 x}{x | x |}$

Schritt 5

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\frac{3 | x | - 3 x}{x | x |}$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \frac{3 | x | - 3 x}{x | x |} \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & 0 \end{array}$

Schritt 6

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\frac{3 | x | - 3 x}{x | x |}$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 7

Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht gleich sind, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$