Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} - 5 x - 3}{x^{2} + x - 12}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 5 x - 3}{lim_{x \to 0} x^{2} + x - 12}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x^{2} + x - 12}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x^{2} + x - 12}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x^{2} + x - 12}$

Schritt 5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x^{2} + x - 12}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x^{2} + x - 12}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 12}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 12}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 12}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{0^{2} + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 12}$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{0^{2} + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{0^{2} + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{0^{2} + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 3}{0^{2} + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0 + 0 - 3}{0^{2} + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 11.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - 3}{0^{2} + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 11.1.6

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{- 3}{0^{2} + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 3}{0 + 0 - 1 \cdot 12}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{- 3}{0 + 0 - 12}$

Schritt 11.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{- 3}{0 - 12}$

Schritt 11.2.4

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$\frac{- 3}{- 12}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $- 12$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{- 3 (1)}{- 12}$

Schritt 11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 4}$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 4}$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$