Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $\frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$ als ein Produkt um.

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sin (2 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

Schritt 1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (5 x)}$ nach $\sec (5 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sec (5 x)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} 5 x)$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\sin (0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Schritt 8.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 \cdot \sec (0)$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$