Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Multipliziere Zähler und Nenner mit $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot x}{\sin (x) \cdot x}$

Schritt 2

Multipliziere Zähler und Nenner mit $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot x \cdot (2 x)}{2 x \cdot \sin (x) \cdot x}$

Schritt 3

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot \frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{2 x}{x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5

Der Grenzwert von $\frac{\sin (2 x)}{2 x}$ für $x$ gegen $0$ ist $1$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.4.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.4.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.4.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\cos (2 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 5.6.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6

Der Grenzwert von $\frac{x}{\sin (x)}$ für $x$ gegen $0$ ist $1$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.1.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 6.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 6.7

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Schritt 7.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} 2$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$1 \cdot 1 \cdot 2$

Schritt 9

Multipliziere $1 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 \cdot 2$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$