Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sin (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x^{2})}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (5 (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (10 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Stelle die Faktoren von $\cos (5 x^{2}) (10 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (5 x^{2})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (5 x^{2})}{2 x}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x \cos (5 x^{2})$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 x}$

Schritt 1.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 (x)}$

Schritt 1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 x}$

Schritt 1.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x \cos (5 x^{2})}{x}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x \cos (5 x^{2})}{x}$

Schritt 1.4.2.2

Dividiere $5 \cos (5 x^{2})$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x^{2})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to 0} \cos (5 x^{2})$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x^{2})$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \cos (5 lim_{x \to 0} x^{2})$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 \cos (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \cos (5 \cdot 0^{2})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \cos (5 \cdot 0)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$5 \cos (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$