Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {\tan (2 x)}^{x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\tan (2 x)}^{x}$ als $e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\tan (2 x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $e^{x \ln (\tan (2 x))}$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{0 \ln (\tan (2 \cdot 0))}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Schritt 3.4

Da $e^{0 \ln (0)}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Schritt 5

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 5.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (2 x))}$

Schritt 5.2

Schreibe $x \ln (\tan (2 x))$ als $\frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}}$

Schritt 5.3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (2 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.3.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (\tan (2 x))$ ohne Schranke ab.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Schritt 5.3.1.3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x}$ gegen unendlich.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 5.3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 5.3.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 5.3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.5

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.6.1

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.7.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.8

Kombiniere $\sec^{2} (2 x)$ und $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.12

Mutltipliziere $\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.13.1.1

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (2 x)}$ an.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 5.3.3.13.1.5.1

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{2} (2 x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.3.13.2.1

Schreibe $\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}$ als ein Produkt um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.13.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\cos (2 x)}$ mit $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 5.3.3.14

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Schritt 5.3.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- x^{- 2}}}$

Schritt 5.3.3.16

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}$ und $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Schritt 5.4.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Schritt 5.5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Schritt 5.5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.5.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{- 2 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Schritt 5.5.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- 2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Schritt 5.5.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Schritt 5.5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Schritt 5.5.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Schritt 5.5.1.3.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Schritt 5.5.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

Schritt 5.5.1.3.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5.5.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.5.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5.5.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 5.5.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.5.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 5.5.1.3.7.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 5.5.1.3.7.3

Mutltipliziere $\sin (2 \cdot 0)$ mit $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}}$

Schritt 5.5.1.3.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (0)}}$

Schritt 5.5.1.3.7.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Schritt 5.5.1.3.7.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Schritt 5.5.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Schritt 5.5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Schritt 5.5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}$

Schritt 5.5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (2 x)$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.5.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.5

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.6

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Schritt 5.5.3.13

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.5.3.13.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Schritt 5.5.3.13.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Schritt 5.5.3.13.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Schritt 5.5.3.14

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Schritt 5.5.3.15

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Schritt 5.5.3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Schritt 5.5.3.17

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Schritt 5.5.3.18

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.5.3.19

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.5.3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

Schritt 5.5.3.21

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ .

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Schritt 5.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos^{2} (2 x)$ heraus.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.5.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin^{2} (2 x)$ heraus.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \cdot - 1 \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.5.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (- \sin^{2} (2 x))$ heraus.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

Schritt 5.5.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

Schritt 5.5.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.6.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.6.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.6.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 5.6.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x))}^{2}}}$

Schritt 5.6.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

Schritt 5.6.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5.7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Schritt 5.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.8.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Schritt 5.8.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Schritt 5.8.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Schritt 5.8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

Schritt 5.8.1.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

Schritt 5.8.1.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0}}$

Schritt 5.8.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 + 0}}$

Schritt 5.8.1.8

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

Schritt 5.8.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

Schritt 5.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 5.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$

Schritt 6

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$