Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sec (x)}{x}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)}}{x}$

Schritt 1.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Schritt 2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $\sec^{2} (x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Schritt 4.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sec^{2} (0)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1^{2}$

Schritt 6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1$