Analysis Beispiele

lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} e^{\sin (\frac{π}{x})}

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

x

$x$ sich an

0

$0$ annähert.

lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

\sqrt{lim_{x \to 0} | x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{lim_{x \to 0} | x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Schritt 1.3

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\sqrt{| 0 |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion

\sin (\frac{π}{x})

$\sin (\frac{π}{x})$ zeigt, wenn sich

x

$x$ von links

0

$0$ annähert.

\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der

x

$x$ -Werte an

0

$0$ nähern sich die Funktionswerte

0

$0$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von

\sin (\frac{π}{x})

$\sin (\frac{π}{x})$ für

x

$x$ gegen

0

$0$ gleich

0

$0$ .

0

$0$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion

\sin (\frac{π}{x})

$\sin (\frac{π}{x})$ zeigt, wenn sich

x

$x$ von rechts

0

$0$ annähert.

\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der

x

$x$ -Werte an

0

$0$ nähern sich die Funktionswerte

0

$0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von

\sin (\frac{π}{x})

$\sin (\frac{π}{x})$ für

x

$x$ gegen

0

$0$ gleich

0

$0$ .

\sqrt{| 0 |} \cdot e^{0}

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{0}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

0

$0$ ist

0

$0$ .

\sqrt{0} \cdot e^{0}

$\sqrt{0} \cdot e^{0}$

Schritt 9.2

Schreibe

0

$0$ als

0^{2}

$0^{2}$ um.

\sqrt{0^{2}} \cdot e^{0}

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{0}$

Schritt 9.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

0 \cdot e^{0}

$0 \cdot e^{0}$

Schritt 9.4

Alles, was mit

0

$0$ potenziert wird, ist

1

$1$ .

0 \cdot 1

$0 \cdot 1$

Schritt 9.5

Mutltipliziere

0

$0$ mit

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$