Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \sqrt{x}$ , $x = 4$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Schritt 1.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = 8 \sqrt{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache $8 \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 8 \sqrt{4}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = 8 \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 8 \cdot 2$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$y = 16$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 16$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.10

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.12

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Bringe ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.15.2

Multipliziere $4$ mit $4^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.15.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.15.2.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.15.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

Schritt 2.15.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Schritt 2.15.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

Schritt 2.15.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.15.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.15.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.15.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1}$

Schritt 2.15.5

Berechne den Exponenten.

$2$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(4, 16)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y - 16 = 2 x - 8$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x - 8 + 16$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 8$ und $16$ .

$y = 2 x + 8$

Schritt 4