Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{3 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \arctan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Ersetze $t$ für $2 x$ und lasse $t$ sich $0$ nähern solange $lim_{x \to 0} 2 x = 0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \arctan (t)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{1}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1} \cdot 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x^{2} + 1}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 3.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Schritt 5.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$