Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{2 x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $- \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{2 x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \cos (x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos (x)$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (0)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot - 1 \cos (0)$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 1 \cos (0)$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{4} \cos (0)$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} \cos (0)$

Schritt 7.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$