Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{8}{x \cot (5 x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 lim_{x \to 0} \frac{1}{x \cot (5 x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$8 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x \cot (5 x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$8 \frac{1}{lim_{x \to 0} x \cot (5 x)}$

Schritt 4

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (5 x)$

Schritt 5

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \cot (5 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.18304877 \\ - 0.01 & 0.1998333 \\ - 0.001 & 0.19999833 \end{array}$

Schritt 6

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.2$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $x \cot (5 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.2$ .

$0.2$

Schritt 7

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (5 x)$

Schritt 8

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \cot (5 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.18304877 \\ 0.01 & 0.1998333 \\ 0.001 & 0.19999833 \end{array}$

Schritt 9

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.2$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \cot (5 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.2$ .

$8 (\frac{1}{0.2})$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.2$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $0.2$ aus $8$ heraus.

$0.2 (40) \frac{1}{0.2}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.2 \cdot 40 \frac{1}{0.2}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$40$