Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (x)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sec (0)}{1 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sec (0)}{1 - \sin (0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{1 - \sin (0)}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Schritt 7.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$