Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Schritt 1

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$6 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 2.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 2.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + 0}$

Schritt 2.3.6

Addiere $- \sin (x)$ und $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$6 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \cdot 2 \frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 4.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (0)}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- 0}$

Schritt 4.1.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 4.3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \cos (x)}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (x)}$

Schritt 4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} - \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \cdot 2 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 5.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Multipliziere $6 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$- 12 \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 7.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (0)}$ nach $\sec (0)$ um.

$- 12 \sec (0)$

Schritt 7.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$- 12$