Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \cos (6 x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (6 x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Schritt 2.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Schritt 2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 \frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Schritt 2.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$3 \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Schritt 2.1.3.1.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{0}{1 - \cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{0}{1 - \cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$3 \frac{0}{1 - \cos (0)}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (6 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}$

Schritt 2.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (6 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]}$

Schritt 2.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 2.3.5.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 2.3.5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 2.3.5.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6}$

Schritt 2.3.5.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 6 \sin (6 x)}$

Schritt 2.3.5.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + 6 \sin (6 x)}$

Schritt 2.3.6

Addiere $0$ und $6 \sin (6 x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \sin (6 x)}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{6 \sin (6 x)}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sin (6 x)$ heraus.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 3 \sin (6 x)}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 3 \sin (6 x)}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 lim_{x \to 0} \frac{x}{3 \sin (6 x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (6 x)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Schritt 4.1.3.1.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (6 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 4.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Schritt 4.3.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6}$

Schritt 4.3.7

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\cos (6 x)$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{6 \cos (6 x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $\frac{1}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x)}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Schritt 5.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Schritt 5.5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3 (2)} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3 \cdot 2} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 7.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$ nach $\sec (6 \cdot 0)$ um.

$\frac{1}{6} \sec (6 \cdot 0)$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{1}{6} \sec (0)$

Schritt 7.6

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{6}$

Dezimalform:

$0.1\overline{6}$