Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (10 x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (10 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (10 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (10 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 10 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \cos (10 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (10 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (10 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (10 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (10 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (10 x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (10 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (10 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 10 x$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [10 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [10 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (10 x) \frac{d}{d x} [10 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (10 x) (10 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (10 x) \cdot 10)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 10 \sin (10 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.7

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 10 \sin (10 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $10 \sin (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \sin (10 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \sin (10 x)}{2 x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10 \sin (10 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 \sin (10 x))}{2 x}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 \sin (10 x))}{2 (x)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 \sin (10 x))}{2 x}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (10 x)}{x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin (10 x)}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin (10 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$5 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 10 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \frac{\sin (10 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \frac{\sin (10 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$5 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (10 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 10 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.6

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\cos (10 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cdot \cos (10 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $10 \cos (10 x)$ durch $1$ .

$5 lim_{x \to 0} 10 \cos (10 x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \cdot 10 lim_{x \to 0} \cos (10 x)$

Schritt 4.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$5 \cdot 10 \cos (lim_{x \to 0} 10 x)$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \cdot 10 \cos (10 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \cdot 10 \cos (10 \cdot 0)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$50 \cos (10 \cdot 0)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$50 \cos (0)$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$50 \cdot 1$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $50$ mit $1$ .

$50$