Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan^{2} (x)}{x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$2 \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Stelle die Faktoren von $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ um.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ durch $1$ .

$2 lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Schritt 3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \cdot 2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$2 \cdot 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$2 \cdot 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \cdot 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \cdot 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0)$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$4 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0)$

Schritt 5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 \cdot \tan (0)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 \cdot \tan (0)$

Schritt 5.5

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$4 \cdot 0$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0$