Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{2 \sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 2.3.8.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}$

Schritt 2.3.8.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 2.3.8.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 3.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 3.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Schritt 3.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 6.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$