Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{5 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 3 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \cos (x)}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $2 - 3 \cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 2 - 3 \cos (x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x))$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{5} (2 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x))$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} (2 - 3 lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cos (0))$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} (2 - 3)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 1$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{5}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{5}$

Dezimalform:

$- 0.2$