Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - x^{2}}{4 x^{2} - x - 2}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{4 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{4 - 0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{4 - 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{4 - 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 - 1}{4 - 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{4 - 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- 1}{4 + 0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{- 1}{4 + 0 + 0}$

Schritt 8.2.3

Addiere $4 + 0$ und $0$ .

$\frac{- 1}{4 + 0}$

Schritt 8.2.4

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{- 1}{4}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$