Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $(x^{2}) \csc^{2} (x)$ als $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Schritt 3

Berechne den linksseitigen Grenzwert.

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Schritt 3.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 3.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 3.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 3.1.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 3.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Schritt 3.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 3.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 3.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 3.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 3.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 3.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 3.1.3.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Schritt 3.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Schritt 3.1.3.6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Schritt 3.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Schritt 3.1.3.8

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Schritt 3.1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.9.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Schritt 3.1.3.9.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Schritt 3.1.3.9.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.1.3.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.1.3.9.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.1.3.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.1.3.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 3.1.3.9.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Schritt 3.2

Der Grenzwert von $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ für $x$ gegen $0$ ist $1$ .

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Schritt 3.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} 2 x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 3.2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.2.1.2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0^{-}} x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 3.2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 3.2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)}$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{-}} x)}$

Schritt 3.2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Schritt 3.2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 3.2.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2.2

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.2.3.5.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.2.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.2.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Schritt 3.2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 3.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{-}} \sec (2 x)$

Schritt 3.2.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.6.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)$

Schritt 3.2.6.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sec (2 lim_{x \to 0^{-}} x)$

Schritt 3.2.7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sec (2 \cdot 0)$

Schritt 3.2.8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\sec (0)$

Schritt 3.2.8.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Schritt 5

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 5.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 5.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 5.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 5.1.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 5.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Schritt 5.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 5.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 5.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 5.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 5.1.3.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Schritt 5.1.3.6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Schritt 5.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Schritt 5.1.3.8

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Schritt 5.1.3.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.9.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Schritt 5.1.3.9.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Schritt 5.1.3.9.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 5.1.3.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.9.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 5.1.3.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 5.1.3.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 5.1.3.9.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.2

Der Grenzwert von $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ für $x$ gegen $0$ ist $1$ .

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Schritt 5.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 5.2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 5.2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 5.2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 5.2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

Schritt 5.2.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Schritt 5.2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Schritt 5.2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 5.2.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 5.2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.2.3.5.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.2.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.2.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 5.2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \sec (2 x)$

Schritt 5.2.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.2.6.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Schritt 5.2.6.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sec (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Schritt 5.2.7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sec (2 \cdot 0)$

Schritt 5.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\sec (0)$

Schritt 5.2.8.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1$

Schritt 6

Da der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, ist der Grenzwert gleich $1$ .

$1$