Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 3}{4 x^{3} + 2 x + 1}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + \frac{- 3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 3

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{3}{x}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + \frac{3}{x^{3}}}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 4

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{3}{x^{3}}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 5

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{2}{x^{2}}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 6

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + 0}$

Schritt 7

Da sein Zähler ohne Grenze ist, während der Nenner gegen eine Konstante geht, geht der Bruch $\frac{x - 0 + 0}{4 + 0 + 0}$ gegen unendlich.

$\infty$