Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.1.3.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Schritt 1.3.7.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Schritt 1.3.7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Schritt 1.3.7.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 1.3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}$

Schritt 1.3.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \cdot 2)}$

Schritt 1.3.7.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (2 \cdot \cos (2 x))}$

Schritt 1.3.7.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 + 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 2.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 2.11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 1}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1 + 2}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (0)}$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{3}{1 - 2}$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{3}{- 1}$

Schritt 4.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 3$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3$