Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} 5 x^{3} - 7 x^{2} + 2^{x} - 2$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} 5 x^{3} - lim_{x \to 0} 7 x^{2} + lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 2$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 7 x^{2} + lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 2$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 7 x^{2} + lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 2$

Schritt 4

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 2$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 2$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \cdot 0^{3} - 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0^{2} + 2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0^{2} + 2^{0} - 1 \cdot 2$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \cdot 0 - 7 \cdot 0^{2} + 2^{0} - 1 \cdot 2$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 - 7 \cdot 0^{2} + 2^{0} - 1 \cdot 2$

Schritt 9.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 7 \cdot 0 + 2^{0} - 1 \cdot 2$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$0 + 0 + 2^{0} - 1 \cdot 2$

Schritt 9.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 0 + 1 - 1 \cdot 2$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + 0 + 1 - 2$

Schritt 9.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 1 - 2$

Schritt 9.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1 - 2$

Schritt 9.4

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1$