Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 2 x$ ein.

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 2 x$ ein.

$u_{upper} = - 2 t$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 2 t$ und $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Schritt 9.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

Schritt 9.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 9.2

Da der Exponent $- 2 t$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 2 t}$ $0$ an.

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.3.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Schritt 9.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 9.3.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 9.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Schritt 9.3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$