Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.8

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2 x - 1}$ und $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 1.3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.13

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{2 x - 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x - 1}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$