Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\ln (1^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 1.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x (2 x)}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x)}$

Schritt 1.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x^{1})}$

Schritt 1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{1 + 1}}$

Schritt 1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Schritt 1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{1^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$