Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Schritt 2

Wende das Einschnürungstheorem an, da $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ und $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 4.1.3.1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 4.1.3.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

Schritt 4.3.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 5.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

Schritt 5.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 5.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.3

Kombinieren.

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

Schritt 7.1.5.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

Schritt 7.1.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 7.2

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 7.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 3}{6}$

Schritt 7.6

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{5}{6}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{6}$

Dezimalform:

$0.8\overline{3}$