Analysis Beispiele

lim x \to 0 \frac{sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{tan (4 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

x

$x$ sich an

0

$0$ annähert.

lim x \to 0 \frac{sin (x)}{3 x} + lim x \to 0 \frac{2 x}{tan (4 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{sin (x)}{x} + lim x \to 0 \frac{2 x}{tan (4 x)}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

\frac{1}{3} lim x \to 0 \frac{sin (x)}{x} + lim x \to 0 \frac{2 x}{tan (4 x)}

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Schritt 2

Wende das Einschnürungstheorem an, da

cos (x) \leq \frac{sin (x)}{x} \leq 1

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ und

lim x \to 0 cos (x) = lim x \to 0 1 = 1

$lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ .

\frac{1}{3} \cdot 1 + lim x \to 0 \frac{2 x}{tan (4 x)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term

2

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim x \to 0 \frac{x}{tan (4 x)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim x \to 0 x}{lim x \to 0 tan (4 x)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim x \to 0 tan (4 x)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{tan (lim x \to 0 4 x)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 4.1.3.1.2

Ziehe den Term

4

$4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{tan (4 lim x \to 0 x)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{tan (4 lim x \to 0 x)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{tan (4 \cdot 0)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

0

$0$ .

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{tan (0)}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 4.1.3.3.2

Der genau Wert von

tan (0)

$\tan (0)$ ist

0

$0$ .

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch

0

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

0

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

0

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.2

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

lim x \to 0 \frac{x}{tan (4 x)} = lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [tan (4 x)]}

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [tan (4 x)]}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim x \to 0 \frac{1}{\frac{d}{d x} [tan (4 x)]}

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \tan (x)$ und

$g (x) = 4 x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von

$\tan (u)$ nach

$u$ ist

$\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle

$u$ durch

$4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.4

$4$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$4 x$ nach

$x$ gleich

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

Schritt 4.3.7

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term

$\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$x$ sich an

$0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von

$1$ , welcher konstant ist, wenn

$x$ sich

$0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Schritt 5.4

Ziehe den Exponenten

$2$ von

$\sec^{2} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

Schritt 5.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 5.6

Ziehe den Term

$4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{3}$ mit

$1$ .

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$4$ heraus.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.3

Kombinieren.

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.5.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

Schritt 7.1.5.2

Der genau Wert von

$\sec (0)$ ist

$1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

Schritt 7.1.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 7.2

$\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

$6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

$1$ multiplizierst.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{3}$ mit

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{2}$ mit

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.4.4

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 3}{6}$

Schritt 7.6

Addiere

$2$ und

$3$ .

$\frac{5}{6}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{6}$

Dezimalform:

$0.8\overline{3}$