Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \sqrt{u^{2} x^{2} + 2 x u + 1}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to - 1} u^{2} x^{2} + 2 x u + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to - 1} u^{2} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 3

Ziehe den Term $u^{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{u^{2} lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2 u$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(- 1)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(- 1)}^{2} + 2 u \cdot - 1 + 1}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $u^{2} {(- 1)}^{2}$ als ${(u \cdot - 1)}^{2}$ um.

$\sqrt{{(u \cdot - 1)}^{2} + 2 (u \cdot - 1) + 1}$

Schritt 8.2

Es sei $u = u \cdot - 1$ . Ersetze $u$ für alle $u \cdot - 1$ .

$\sqrt{u^{2} + 2 u + 1}$

Schritt 8.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Schritt 8.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 8.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\sqrt{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 8.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$\sqrt{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 8.4

Ersetze alle $u$ durch $u \cdot - 1$ .

$\sqrt{{(u \cdot - 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $u$ .

$\sqrt{{(- 1 \cdot u + 1)}^{2}}$

Schritt 8.5.2

Schreibe $- 1 u$ als $- u$ um.

$\sqrt{{(- u + 1)}^{2}}$

Schritt 8.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- (- u + 1)$

Schritt 8.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- - u - 1 \cdot 1$

Schritt 8.8

Multipliziere $- - u$ .

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Schritt 8.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 u - 1 \cdot 1$

Schritt 8.8.2

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$u - 1 \cdot 1$

Schritt 8.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u - 1$