Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \sqrt{\frac{8 x + 1}{x + 3}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 1} \frac{8 x + 1}{x + 3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1} 8 x + 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{8 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{8 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{8 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{8 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{8 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x + 3}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{8 \cdot 1 + 1}{1 + 3}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{8 + 1}{1 + 3}}$

Schritt 9.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{9}{1 + 3}}$

Schritt 9.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\sqrt{\frac{9}{4}}$

Schritt 9.4

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{4}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 9.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{\sqrt{4}}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 9.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$