Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 1.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}$

Schritt 1.3.6

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \cdot - 1}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.6.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}$

Schritt 1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$- \frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$