Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{9 - 9}{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0}{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{0}{9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{0}{9 + 6 - 1 \cdot 3}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{9 + 6 - 3}$

Schritt 10.2.4

Addiere $9$ und $6$ .

$\frac{0}{15 - 3}$

Schritt 10.2.5

Subtrahiere $3$ von $15$ .

$\frac{0}{12}$

Schritt 10.3

Dividiere $0$ durch $12$ .

$0$