Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{e^{2 x}})$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x}{e^{2 x}})$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} e^{2 x}})$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{e^{lim_{x \to 1} 2 x}})$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{e^{2 lim_{x \to 1} x}})$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\ln (\frac{1}{e^{2 lim_{x \to 1} x}})$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\ln (\frac{1}{e^{2 \cdot 1}})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Bringe $e^{2 \cdot 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{- 2})$

Schritt 6.2

Zerlege $\ln (e^{- 2})$ durch Herausziehen von $- 2$ aus dem Logarithmus.

$- 2 \ln (e)$

Schritt 6.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$