Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \csc (x)$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (2 x) \csc (x)$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (2 x) \csc (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 2.0304828 \\ - 0.01 & 2.00030004 \\ - 0.001 & 2.000003 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $2$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\tan (2 x) \csc (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $2$ .

$2$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (2 x) \csc (x)$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (2 x) \csc (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ 0.1 & 2.0304828 \\ 0.01 & 2.00030004 \\ 0.001 & 2.000003 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $2$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\tan (2 x) \csc (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $2$ .

$2$