Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{x - 2}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 9 x + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 9 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 9 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 9 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 2} x + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2} - 9 lim_{x \to 2} x + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.7.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.7.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.7.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + 2} - 9 \cdot 2 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.7.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2^{3} - 9 \cdot 2 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 - 9 \cdot 2 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{8 - 18 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $18$ von $8$ .

$\frac{- 10 + 10}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.2.7.3

Addiere $- 10$ und $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 9 x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.5

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $4 x - 9$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9}{1 + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 9}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $4 x - 9$ durch $1$ .

$lim_{x \to 2} 4 x - 9$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 9$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 9$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 9$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$4 \cdot 2 - 1 \cdot 9$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 - 1 \cdot 9$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$8 - 9$

Schritt 4.2

Subtrahiere $9$ von $8$ .

$- 1$