Analysis Beispiele

\infty \sum n = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei

a

$a$ der erste Term und

r

$r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze

a_{n}

$a_{n}$ und

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ in die Formel für

r

$r$ ein.

r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}

${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ und

{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere

{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ aus

{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}

${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ heraus.

r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere mit

1

$1$ .

r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.1.2.4

Dividiere

${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ durch

$1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Schritt 2.2.2

Addiere

$n$ und

$0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere

$n$ von

$n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.5

Addiere

$0$ und

$1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$r = - \frac{1}{3}$

Schritt 3

Since

$| r | < 1$ , the series converges.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze

$1$ für

$n$ in

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ ein.

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

$1$ von

$1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Produktregel auf

$- \frac{1}{3}$ an.

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Produktregel auf

$\frac{1}{3}$ an.

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Schritt 4.2.3

Alles, was mit

$0$ potenziert wird, ist

$1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere

$\frac{1^{0}}{3^{0}}$ mit

$1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Schritt 4.2.5

Alles, was mit

$0$ potenziert wird, ist

$1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Schritt 4.2.6

Alles, was mit

$0$ potenziert wird, ist

$1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Schritt 4.2.7

Dividiere

$1$ durch

$1$ .

$a = 1$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere

$- - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{3}$ mit

$1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Schritt 6.1.4

Addiere

$3$ und

$1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{3}{4})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere

$\frac{3}{4}$ mit

$1$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{4}$

Dezimalform:

$0.75$