Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x^{2} + 1}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + 0 + 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - 0}{1 + 0 + 0}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$

Schritt 8.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1 + 0$ und $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Schritt 8.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$