Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} x \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 1$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1} x \sec^{2} (x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sec^{2} (x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$lim_{x \to 1} x \cdot {(lim_{x \to 1} \sec (x))}^{2} - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \tan^{2} (x) - lim_{x \to 1} 1$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - {(lim_{x \to 1} \tan (x))}^{2} - lim_{x \to 1} 1$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} 1$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$lim_{x \to 1} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 1} x) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (lim_{x \to 1} x) - 1 \cdot 1$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Faktorisiere $1$ aus $1 \cdot \sec^{2} (1)$ heraus.

$1 (\sec^{2} (1)) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1$

Schritt 9.2

Faktorisiere $1$ aus $- \tan^{2} (1)$ heraus.

$1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1$

Schritt 9.3

Faktorisiere $1$ aus $1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1))$ heraus.

$1 (\sec^{2} (1) - \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1$

Schritt 9.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 9.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 - 1 \cdot 1$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1$

Schritt 9.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$