Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3 a} - lim_{x \to 1} 3 a x + lim_{x \to 1} 3 a - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $3 a$ von $x^{3 a}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3 a} - lim_{x \to 1} 3 a x + lim_{x \to 1} 3 a - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3 a$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3 a} - 1 \cdot 3 a lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3 a - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $3 a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3 a} - 1 \cdot 3 a lim_{x \to 1} x + 3 a - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3 a} - 1 \cdot 3 a lim_{x \to 1} x + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3 a} - 1 \cdot 3 a lim_{x \to 1} x + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3 a} - 1 \cdot 3 a \cdot 1 + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 3 a \cdot 1 + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1 - 3 a \cdot 1 + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{1 - 3 a + 3 a - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 3 a + 3 a - 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - 3 a + 3 a - 1$ .

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Schritt 1.1.2.7.2.1

Addiere $- 3 a$ und $3 a$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x - 1)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3 a} - 3 a x + 3 a - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3 a}] + \frac{d}{d x} [- 3 a x] + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 a}] + \frac{d}{d x} [- 3 a x] + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3 a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 a x] + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 a x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 3 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 a x$ nach $x$ gleich $- 3 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a + \frac{d}{d x} [3 a] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Da $3 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Vereinfache.

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Schritt 1.3.7.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.7.1.1

Addiere $3 a x^{3 a - 1} - 3 a$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.7.1.2

Addiere $3 a x^{3 a - 1} - 3 a$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a x^{3 a - 1} - 3 a}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.7.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 x^{3 a - 1} a}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.7.3

Stelle die Faktoren in $- 3 a + 3 x^{3 a - 1} a$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Schritt 1.3.8

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

Schritt 1.3.9

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

Schritt 1.3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

Schritt 1.3.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Schritt 1.3.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.10.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Schritt 1.3.10.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Schritt 1.3.10.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Schritt 1.3.10.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

Schritt 1.3.10.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

Schritt 1.3.10.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.13

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.16

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2 + 0}$

Schritt 1.3.17

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} - 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 1} 3 a + lim_{x \to 1} 3 a x^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $3 a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- 3 a + lim_{x \to 1} 3 a x^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Term $3 a$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 3 a + 3 a lim_{x \to 1} x^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.2.1.4

Ziehe den Exponenten $3 a - 1$ von $x^{3 a - 1}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 3 a + 3 a {(lim_{x \to 1} x)}^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 3 a + 3 a \cdot 1^{3 a - 1}}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 3 a + 3 a \cdot 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- 3 a + 3 a}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $- 3 a$ und $3 a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 x - 2}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}$

Schritt 2.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}$

Schritt 2.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}}{2 x - 2} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 a + 3 a x^{3 a - 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 a] + \frac{d}{d x} [3 a x^{3 a - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 a] + \frac{d}{d x} [3 a x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3.3

Da $- 3 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 a x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 a x^{3 a - 1}]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $3 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 a x^{3 a - 1}$ nach $x$ gleich $3 a \frac{d}{d x} [x^{3 a - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + 3 a \frac{d}{d x} [x^{3 a - 1}]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3 a - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + 3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 1 - 1})}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3.4.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + 3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 2})}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $0$ und $3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 2})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 2})}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3.5.2

Stelle die Faktoren von $3 a ((3 a - 1) x^{3 a - 2})$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 2.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 2.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 2.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 2.3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2 + 0}$

Schritt 2.3.9

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3 a - 2} a (3 a - 1)}{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $\frac{3 a (3 a - 1)}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2} lim_{x \to 1} x^{3 a - 2}$

Schritt 3.2

Ziehe den Exponenten $3 a - 2$ von $x^{3 a - 2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2} {(lim_{x \to 1} x)}^{3 a - 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2} \cdot 1^{3 a - 2}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2} \cdot 1$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{3 a (3 a - 1)}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 a (3 a - 1)}{2}$