Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $a$ von $x^{a}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $b$ von $x^{b}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{b} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{a} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $a x^{a - 1}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Faktoren von $a x^{a - 1}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a - 1} a}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Schritt 1.3.5.3

Stelle die Faktoren in $x^{a - 1} a$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{b} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + 0}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Addiere $b x^{b - 1}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

Schritt 1.3.9.2

Stelle die Faktoren von $b x^{b - 1}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{x^{b - 1} b}$

Schritt 1.3.9.3

Stelle die Faktoren in $x^{b - 1} b$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{a - 1}$ und $x^{b - 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x^{b - 1}$ aus $a x^{a - 1}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{b x^{b - 1}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x^{b - 1}$ aus $b x^{b - 1}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1 - (b - 1)}}{b}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{a}{b}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{a}{b} lim_{x \to 1} x^{a - 1 - (b - 1)}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $a - 1 - (b - 1)$ von $x^{a - 1 - (b - 1)}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{a}{b} {(lim_{x \to 1} x)}^{a - 1 - (b - 1)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - (b - 1)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b - - 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b + 1}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a - 1 - b + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b + 0}$

Schritt 4.2.2

Addiere $a - b$ und $0$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b}$

Schritt 4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{a}{b} \cdot 1$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{a}{b}$ mit $1$ .

$\frac{a}{b}$