Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.2.5.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Schritt 1.1.3.1.4

Ziehe den Term $5 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{1 + \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π \cdot 1)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π)}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 1.3.6.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.6.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (5 π x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 π x$ .

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Schritt 1.3.9.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Schritt 1.3.9.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Schritt 1.3.9.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Schritt 1.3.9.2

Da $5 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 π x$ nach $x$ gleich $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

Schritt 1.3.9.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π)}$

Schritt 1.3.9.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 5 \sin (5 π x) π}$

Schritt 1.3.10

Vereinfache.

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Schritt 1.3.10.1

Subtrahiere $5 \sin (5 π x) π$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 \sin (5 π x) π}$

Schritt 1.3.10.2

Stelle die Faktoren von $- 5 \sin (5 π x) π$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Schritt 1.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Schritt 1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 5 π}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (5 π x)}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (5 π x)}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1 - x}{x}$ mit $\frac{1}{\sin (5 π x)}$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Schritt 3.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Term $5 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 3.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 3.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.5.1

Mutltipliziere $\sin (5 π \cdot 1)$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 3.1.3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π)}$

Schritt 3.1.3.5.3

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

Schritt 3.1.3.5.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 3.1.3.5.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.5.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Schritt 3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Schritt 3.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Schritt 3.3.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (5 π x)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (5 π x)] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 π x$ .

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Schritt 3.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 π x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7.3

Ersetze alle $u$ durch $5 π x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.8

Da $5 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 π x$ nach $x$ gleich $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \cdot 1 + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.11

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 π x)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cdot \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \cdot 1}$

Schritt 3.3.13

Mutltipliziere $\sin (5 π x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x)}$

Schritt 3.3.14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $- 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $5 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Schritt 4.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Schritt 4.7

Ziehe den Term $5 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Schritt 4.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Schritt 4.9

Ziehe den Term $5 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6.2.4

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6.2.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot - 1 + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π \cdot 1)}$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π)}$

Schritt 6.2.9

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (π)}$

Schritt 6.2.10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (0)}$

Schritt 6.2.11

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + 0}$

Schritt 6.2.12

Addiere $- 5 π$ und $0$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π}$

Schritt 6.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$

Schritt 6.4

Multipliziere $- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 π}$ mit $\frac{1}{5 π}$ .

$- \frac{1}{5 π (5 π)}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- \frac{1}{25 π π}$

Schritt 6.4.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$- \frac{1}{25 (π^{1} π)}$

Schritt 6.4.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$- \frac{1}{25 (π^{1} π^{1})}$

Schritt 6.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{25 π^{1 + 1}}$

Schritt 6.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

Dezimalform:

$- 0.00405284 \dots$