Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + 4 x - 5}{lim_{x \to 1} | x^{2} - 4 |}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} | x^{2} - 4 |}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} | x^{2} - 4 |}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} | x^{2} - 4 |}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} | x^{2} - 4 |}$

Schritt 6

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{| lim_{x \to 1} x^{2} - 4 |}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{| lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 |}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{| {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 |}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{| {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{| {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{| {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{| 1^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{| 1^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1 + 4 - 1 \cdot 5}{| 1^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1 + 4 - 5}{| 1^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 11.1.4

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{5 - 5}{| 1^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 11.1.5

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{| 1^{2} - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{| 1 - 1 \cdot 4 |}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{| 1 - 4 |}$

Schritt 11.2.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{0}{| - 3 |}$

Schritt 11.2.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$\frac{0}{3}$

Schritt 11.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0$