Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} {(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})}$ als $e^{\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})}$ um.

$lim_{x \to 1} e^{\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})$ durch Herausziehen von $\tan (\frac{π x}{2})$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 1} e^{\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 1} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 1^{-}} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $1$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x) \\ 0.9 & 0.60176479 \\ 0.99 & 0.63340563 \\ 0.999 & 0.63630115 \\ 0.9999 & 0.63658793 \\ 0.99999 & 0.63661658 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $1$ nähern sich die Funktionswerte $0.637$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ für $x$ gegen $1$ gleich $0.637$ .

$0.637$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 1^{+}} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $1$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x) \\ 1.1 & 0.66522011 \\ 1.01 & 0.63977162 \\ 1.001 & 0.63693777 \\ 1.0001 & 0.6366516 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $1$ nähern sich die Funktionswerte $0.637$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ für $x$ gegen $1$ gleich $0.637$ .

$e^{0.637}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{0.637}$

Dezimalform:

$1.89079996 \dots$