Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{3}{x^{3} - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x^{3} - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{3} - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x^{3} - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{3} - 1) (x - 1)$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 2.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 2.1.3.5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.8.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Schritt 2.1.3.8.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.8.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.8.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1 - 3 (x - 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 (x - 1)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.5.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.6

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x^{3} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.11

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 \cdot (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 2.3.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Schritt 2.3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Schritt 2.3.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + 0)}$

Schritt 2.3.16

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \cdot 1}$

Schritt 2.3.17

Mutltipliziere $x^{3} - 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

Schritt 2.3.18

Vereinfache.

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Schritt 2.3.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

Schritt 2.3.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Schritt 2.3.18.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.18.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.18.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.18.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 1}$

Schritt 2.3.18.3.3

Addiere $3 x^{3}$ und $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{4 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.8.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.8.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.8.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{4 - 3 - 1}$

Schritt 3.1.3.8.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 3.1.3.8.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $6 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 3 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.8.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + 0}$

Schritt 3.3.10

Addiere $12 x^{2} - 6 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 lim_{x \to 1} \frac{x}{12 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - 6 x}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Schritt 4.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$6 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 \frac{1}{12 \cdot 1 - 6 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$6 \frac{1}{12 - 6 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$6 \frac{1}{12 - 6}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $6$ von $12$ .

$6 (\frac{1}{6})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{1}{6})$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1$