Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - 9}{x^{3} - 12 x + 3}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - 12 x + 3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - 12 x + 3}$

Schritt 3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - 12 x + 3}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - 12 x + 3}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 3}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 3}$

Schritt 7

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x + 3}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x + 3}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}{0^{3} - 12 lim_{x \to 0} x + 3}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}{0^{3} - 12 \cdot 0 + 3}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9}{0^{3} - 12 \cdot 0 + 3}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{0 - 9}{0^{3} - 12 \cdot 0 + 3}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{- 9}{0^{3} - 12 \cdot 0 + 3}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 9}{0 - 12 \cdot 0 + 3}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$\frac{- 9}{0 + 0 + 3}$

Schritt 10.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{- 9}{0 + 3}$

Schritt 10.2.4

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{- 9}{3}$

Schritt 10.3

Dividiere $- 9$ durch $3$ .

$- 3$