Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2}}{4 x + 6 x^{3}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{3}}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4 x}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x^{3}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{6 x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} + 6}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 3 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 6}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 6}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 6}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 6}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{- 3 + 4 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 6}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3 + 4 \cdot 0$ und $4 \cdot 0 + 6$ .

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Schritt 6.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 6}$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1) + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 6}$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $0 \cdot 4$ heraus.

$\frac{3 (- 1) + 3 (0 \cdot 4)}{4 \cdot 0 + 6}$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 1) + 3 (0 \cdot 4)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{4 \cdot 0 + 6}$

Schritt 6.2.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $4 \cdot 0$ heraus.

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0) + 6}$

Schritt 6.2.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0) + 3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 \cdot 0) + 3 (2)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 6.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 + 0 \cdot 4)}{3 (4 \cdot 0 + 2)}$

Schritt 6.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0 + 2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$\frac{- 1 + 0}{4 \cdot 0 + 2}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 0 + 2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 2}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$