Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5}{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $- \frac{5}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{5 - lim_{x \to 0} 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.1.3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}$

Schritt 2.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 2.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 2.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.6.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.6.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 5 \sqrt{1 + x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x}$ als ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Schritt 2.3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.12

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.14

Mutltipliziere $\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.15

Bringe ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.16

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{- 5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.4.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.5

Subtrahiere $\frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Schritt 2.3.6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x}$ als ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Schritt 2.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.15

Bringe ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.16

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.17

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.18

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.19

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.21

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Schritt 2.3.23

Mutltipliziere ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.3.24

Um ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.25

Kombiniere ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.27

Multipliziere ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.27.1

Bewege ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.27.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.27.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.27.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.27.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.28

Vereinfache ${(1 + x)}^{1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + (1 + x) \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.29

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot (1 + x)}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.30

Vereinfache.

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Schritt 2.3.30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.30.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.30.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.30.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Schritt 2.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 2.5.1

Schreibe ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{1 + x}$ um.

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Schritt 2.5.2

Schreibe ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{1 + x}$ um.

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$

Schritt 2.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$ mit $\frac{5}{2 \sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + x} \cdot 5}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 \sqrt{1 + x}$ heraus.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Schritt 2.7.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})$ heraus.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Schritt 2.7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Schritt 2.7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (\sqrt{1 + x})}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{3 x + 2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0} \frac{5}{3 x + 2}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x + 2}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- 5 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- 5 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- 5 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- 5 \frac{1}{0 + 2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $0$ und $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 5.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$- 2.5$