Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} - 1}{7^{x} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 7^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 7^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{7^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{7^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{7^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{7^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{7^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{7^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{7^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} - 1}{7^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7^{2 x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7^{2 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 7^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} \ln (7) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} \ln (7) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} \ln (7) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $7^{2 x} \ln (7)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7) + 0}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{7^{x} \ln (7) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{7^{x} \ln (7) + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $7^{x} \ln (7)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{7^{x} \ln (7)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7^{2 x}$ und $7^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $7^{x}$ aus $2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{7^{x} (2 \cdot 7^{x} \ln (7))}{7^{x} \ln (7)}$

Schritt 1.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Faktorisiere $7^{x}$ aus $7^{x} \ln (7)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{7^{x} (2 \cdot 7^{x} \ln (7))}{7^{x} (\ln (7))}$

Schritt 1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{7^{x} (2 \cdot 7^{x} \ln (7))}{7^{x} \ln (7)}$

Schritt 1.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{x} \ln (7)}{\ln (7)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{x} \ln (7)}{\ln (7)}$

Schritt 1.4.2.2

Dividiere $2 \cdot 7^{x}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cdot 7^{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0} 7^{x}$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$2 \cdot 7^{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \cdot 7^{0}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$