Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 8}{x + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x + 2}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8}{2 + 2}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8$ und $2 + 2$ .

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \cdot 2^{2}$ heraus.

$\frac{- (- 2 \cdot 2^{2}) - 1 \cdot 8}{2 + 2}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 8$ heraus.

$\frac{- (- 2 \cdot 2^{2}) - 1 (8)}{2 + 2}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 \cdot 2^{2}) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{- (- 2 \cdot 2^{2} + 8)}{2 + 2}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $- (- 2 \cdot 2^{2} + 8)$ als $- 1 (- 2 \cdot 2^{2} + 8)$ um.

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 2^{2} + 8)}{2 + 2}$

Schritt 9.1.5

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 2 \cdot 2^{2} + 8)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 + 2}$

Schritt 9.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 \cdot 1 + 2}$

Schritt 9.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 \cdot 1 + 2 (1)}$

Schritt 9.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 \cdot (1 + 1)}$

Schritt 9.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 2^{2} + 4))}{2 \cdot (1 + 1)}$

Schritt 9.1.6.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 2^{2} + 4)}{1 + 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 4 + 4)}{1 + 1}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 4)}{1 + 1}$

Schritt 9.2.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1 + 1}$

Schritt 9.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{2}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 9.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$