Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 1}}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 1}}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{4}}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2}{3 - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2}{3 - 4}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{2}{- 1}$

Schritt 8.3

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$- 2$